回転円盤の運動エネルギー

単なる暇つぶしです。

まず、円盤を考える前に円筒を考えます。厚さが無視できる薄い円筒です。半径r、質量mだとします。

この円筒を回転軸方向から見ると、n(→∞)個の質量m/nである質点の集合と考えられます。これらが角速度ωで回転するとすると、それぞれの質点が速度ωrで運動することになり、一つあたりの運動エネルギーは(1/2)(m/n)(ωr)^2となり、円筒全体では(1/2)m(ωr)^2となります。ここまでは普通の運動方程式と変わりませんね

それでは、この円筒を円盤にします。厚さの無視できる、それぞれ半径の異なる円筒が無数に集まって円盤を形成していると考えます。円盤の個数をn個とすると、

K=lim(n→∞)Σ{k:1～n}(1/2)((π((k+1)r/n)^2 - π(k/n)^2)/πr^2)m(ωkr/n)^2

となります。

見にくいので図にしてみました。



真ん中の大きな分数は、円柱の断面積からそれより若干小さい円柱の断面積を引いたものを円全体の断面積で割っています。要するに円筒の断面積が円全体のどれだけを占めるかを求めています。これに全体の質量mを掛ければ円筒の質量が出るというわけです。

さて、この式をπを消去したり数列の和の公式を使ったりして変形すると、最終的に以下のような式が得られます。



なんか・・・美しいですね。

変形のプロセス自体は数学II・Bくらいのレベルで充分なので、興味のある方は自力でやってみてください。

さて、今更ですが検算です。

円盤、回転、運動エネルギー等のキーワードで探すと、大学で習うらしい二つの公式にたどり着きます。

慣性モーメント I=Σm(r^2)

回転運動のエネルギー K=(1/2)Ir^2

全ての質点と、それらの回転軸からの距離の積の総和が回転モーメントのようです。力のモーメントを物質全体で考えるわけですね

そして回転運動のエネルギーも慣性モーメントの式と組み合わせると、K=(1/2)Σm(ωr)^2と書き直せます。次元だけ考えれば(1/2)mv^2のような式ですね。なんだか納得です。

さて、円盤の慣性モーメントで検索すると・・・I=(1/2)mr^2という式が出てきました。これを回転運動のエネルギーに当てはめると、K=(1/4)m(ωr)^2となります。導出した式とバッチリ一致しますね。検算終わりっ♪